Números reais

Representado pela letra R, o conjunto dos Números Reais é constituído pelos conjuntos dos números naturais, dos números inteiros, dos números racionais e dos números irracionais.
Os números reais são aqueles utilizados para representar uma quantidade contínua, incluindo o zero e os negativos.

Publicidade

Os conjuntos numéricos

Antes de entrarmos na questão das propriedades dos números reais, vamos relembrar os outros conjuntos. Confira a seguir:

Conjunto dos números naturais

Representa todos os números inteiros positivos.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

Conjunto dos números inteiros

É formado pela união do conjunto dos números naturais com os inteiros negativos e o zero.

Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}

Conjunto dos números racionais

Os números naturais, inteiros, decimais, fracionários e dízimas periódicas pertencem a este conjunto.

Publicidade

Q = {…, ½, ¾, -5/4,…}

Conjunto dos números irracionais

É formado pelos decimais que não possuem uma repetição de números após a vírgula, que são denominados dízimas não periódicas.

I = {1, 3467…, 3,141592…, 4,1256…}

Publicidade

Conjunto dos números reais

O conjunto dos números reais engloba os 4 conjuntos números descritos anteriormente. É representado pela letra R maiúscula e a sua representação numérica é:

R = {…, -3, -2, -1,02, 0, +1/3, 1, 2, 3,3578…, 5, 6, …}

Operações e propriedades

No conjunto dos números reais estão definidas duas operações, adição e multiplicação, que devem satisfazer as seguintes propriedades:

(I) Comutativa: quaisquer que sejam dois números reais a e b, sempre teremos:

A + b = b + a e ab=ba

(II) Associativa: quaisquer que sejam os números reais a, b e c, sempre teremos:

(a + b) + c = a + (b + c) e a(bc) = (ab)c

(III) Elemento neutro: existem únicos números reais, 0 e 1, que, para qualquer número real a, verifica-se que:

a + 0 = a e a.1 = a

(IV) Elemento oposto e elemento inverso único:

(i) Dado um número real a, existe um único número real, -a, denominado oposto de a, tal que:

a + (-a) = 0

(ii) Dado um número real a ≠ 0, existe um único número real, 1/a, denominado inverso multiplicativo de a, tal que:

a. 1/a = 1

(V) Distributiva: quaisquer que sejam a, b e c reais, sempre teremos:

a (b + c) = ab + ac e (b + c) a = ba + ca

Referências