Logaritmos

Histórico

“O termo logaritmo (logarithmus) foi criado por Napier e é formado pela junção das palavras gregas lógos e arithmós, que significam razão e número, respectivamente.” (IEZZI, et al. 1997)

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O conceito de logaritmo foi inicialmente elaborado por John Napier, a partir de estudos relacionados à geometria no ano de 1614, quando foi publicada a primeira tábua de logaritmos. Paralelamente, Jobst Burgi conduziu seus estudos, embora apenas tenha publicado a tábua de logartimos resultante – baseada em noções algébricas – em 1620. A essa altura, o trabalho de Napier já estava difundido por toda Europa, mas ainda assim Burgi teve uma importante contribuição para a formalização do logaritmo.

O conceito de logaritmo de Napier e Burgi utilizava a base 1/e, sendo que e (o número de Euler) é um número irracional de valor aproximado de 2,718. O número de Euler é a base para definição dos logaritmos ditos naturais. Deste modo, o logaritmo natural, ou neperiano, ainda apresentava certas dificuldades de cálculo por usar a base 1/e, pois para se obter os logaritmos era necessário ter tabelas de consulta, chamadas tábuas de cálculo.

Posteriormente, Henry Briggs adaptou os logaritmos a uma base decimal.

Conceito

Os logaritmos criados a partir dos estudos de John Napier e Jobst Burgi, e posteriormente adaptados por Henry Briggs, possuem, atualmente, a seguinte lei de formação:

log_ab = x, onde:

a = base do logaritmo

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b = logaritmando

x = logaritmo

A formulação atual de logaritmo foi estruturada por Leonhard Euler, no século XVIII, e relaciona logaritmo com a função exponencial. Nesse conceito, o logaritmo de um número b em uma base a é o expoente x que se deve aplicar à base de tal forma que o resultado seja b. Dessa forma:

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log_ab = x ↔ a^x = b, desde que a e b sejam números reais positivos (a ≠ 1, b > 0 e a > 0)

Em um exemplo:

Se:

log₃9 = x

Então:

3^x=9

Ao fatorar o logaritmando 9 temos que:

9 = 3 X 3 = 3²

Assim:

3^x=9=3²

3^x=3²

x=2

Sendo que:

a = 3 = base

b = 9 = logaritmando

x = 2 = logaritmo

Antilogaritmo

É definido como o inverso do logaritmo.

Exemplo:

antilog₅2=x

Primeiro, devemos igualar o antilogaritmo a x, que é o valor ao qual queremos chegar.

Em seguida, apenas aplicamos a definição dada acima:

5² = x

Facilmente podemos chegar ao valor de x apenas resolvendo a potência:

x = 5 * 5 = 25

Consequências da definição

A seguir, são apresentadas algumas propriedades que decorrem da definição de Briggs para logaritmos:

O logaritmo do número 1 em qualquer base sempre será igual a 0.

log_a1 = 0, pois a⁰ = 1

O logaritmo de qualquer número a na própria base a será igual a 1.

log_aa = 1, pois a¹ = a

O logaritmo de uma potência da base é o expoente, em qualquer base.

log_aa^m = m, pois m * log_aa = m * 1 = m 

A potência de base a e expoente log_a^b é igual a b.

a^log_a^b = b, pois log_ab = x → a^x = b 

Com relação ao valor da base, o logaritmo da base 10 (b = 10) é chamado de logaritmo comum (ou decimal), sendo muito utilizado na ciência e engenharia. Ao trabalharmos com logaritmos na base 10 normalmente a omitimos.

O logaritmo natural (ou neperiano) tem a constante irracional e (≈ 2.718) como base e é utilizado na matemática pura, principalmente em cálculo diferencial. O nome neperiano é em homenagem a John Napier, autor do primeiro trabalho publicado que sintetizava a teoria dos logaritmos.

Por fim, há o logaritmo binário, no qual é utilizada a base 2 (b = 2), sendo de suma importância para a ciência da computação.

Propriedades dos logaritmos

As propriedades a seguir facilitam o uso de logaritmos em cálculos, uma vez que nos permitem obter o logaritmo de um produto, de um quociente ou de uma potência, sendo necessário conhecer apenas os logaritmos dos termos do produto, dos termos do quociente ou da base de potência.

Logaritmo do produto

“Em qualquer base a (0 < a ≠ 1), o logaritmo do produto de tais fatores reais positivos e igual à soma dos logaritmos dos fatores.” (IEZZI, et al. 1997)

Se:

0 < a ≠ 1, b > 0 e c > 0

Então:

log_a (b . c) = log_a b + log_a c

Logaritmo do quociente

“Em qualquer base a (0 < a ≠ 1), o logaritmo do quociente de dois números reais positivos e igual a diferença entre o logaritmo do dividendo e 0 logaritmo do divisor.” (IEZZI, et al. 1997)

Se:

0 < a ≠ 1, b > 0 e c > 0

Então:

log_a (b/c) = log_a b – log_a c

Logaritmo da potência

“Em qualquer base a (0 < a “* 1), o logaritmo de uma potencia de base real positiva e expoente real e igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.” (IEZZI, et al. 1997)

Se:

0 < a ≠1, b > 0 e a Î IR

Então:

log_a b^α = α . log_a b

Cologaritmo

É definido como o número real oposto de seu respectivo logaritmo.

Se:

0 < a ≠1, b > 0

Então:

colog _ab = – log_ab

Mudança de base

Para realizar as propriedades operatórias, dois logaritmos de bases diferentes precisam ser convertidos para uma única base. No caso, se a, b e c são números reais positivos e a e c diferentes de 1, então:

log_a b = log_cb/log_ca

Exemplo:

log₃ 5 convertido para a base 2 fica

log₃ 5 = log₂ 5/log₂ 3

Referências