Diagrama de Venn

À primeira vista, Zenão de Eléia, filósofo grego que viveu por volta de 450 a.C., já tinha um pensamento a respeito do que seria o conceito de infinito quando ele propôs o famoso paradoxo de Zenão.

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Por outro lado, em 1830, o matemático Georg Cantor (1845-1918), juntamente com seu colega Richard Dedekind (1831-1916), conseguiram definir e classificar precisamente muitos tipos diferentes de infinitos.

Em suma, para realizar tal feito, eles utilizaram uma nova teoria, criada por Cantor em 1872, conhecida como teoria dos conjuntos.

Sob o mesmo ponto de vista, o matemático John Venn (1834-1923) criou um diagrama, conhecido como Diagrama de Venn.

Esse diagrama é utilizado para a representação de um conjunto em que os elementos são simbolizados por pontos (números, letras, nomes, etc.) interiores a uma região plana (normalmente uma circunferência ou uma elipse), delimitada por uma linha fechada que não se entrelaça.

Um exemplo prático

Além da utilização desse diagrama para a teoria de conjuntos, ao mesmo tempo podemos utilizá-lo para a aplicação nos conceitos de probabilidade e em lógica.

Suponha uma sala de aula com 25 alunos. Ainda temos que 15 alunos gostam do refrigerante A e 18 gostam do refrigerante B. Se somarmos 15 e 18, encontraremos 33 pessoas nesse grupo. Isso ocorre pois temos, ao mesmo tempo, alunos nessa sala que optam pelos dois.

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Para encontrar quantos alunos gostam de ambos os refrigerantes, basta fazer a diferença entre 33 e o total de alunos da sala. Caso uma professora escolhesse aleatoriamente um aluno dessa turma, qual será a probabilidade de escolher um aluno que goste dos dois?

Neste exemplo, podemos utilizar o diagrama de Venn para representar tal situação para o conjunto A e o conjunto B.

A probabilidade de escolher um aluno que goste dos dois refrigerantes, utilizando o diagrama de Venn, é a intersecção dos dois conjuntos, ou seja, A∩B.

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Modelos de Diagrama de Venn

Antecipadamente nos foi mostrado o exemplo da probabilidade de em uma sala de aula obtermos em um sorteio, alunos que gostem do refrigerante A e B ao mesmo tempo.

Mas como seria a relação entre esses conjuntos se fossem adicionados mais outros conjuntos ao exemplo citado?

Podemos então, de antemão, utilizar alguns modelos para o diagrama de Venn, para 2, 3 e 4 conjuntos.

A princípio vamos começar com a relação entre 2 conjuntos, mostrando a representação matemática dessa relação.

Relação entre 2 conjuntos

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

De acordo com a relação entre 2 conjuntos, temos o número de elementos do conjunto A e B e de sua intersecção A ∩ B.

Relação entre 3 conjuntos

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩B) – n(A∩C) – n(B∩C) + n(A∩B∩C)

Nesse ínterim, teremos a quantidade de elementos das intersecções A∩C, B∩C e A∩B∩C, juntamente com as relações para 2 conjuntos.

Sob o mesmo ponto de vista, podemos citar um exemplo de aplicação dessa relação de conjuntos na geografia.

Durante o decorrer das décadas de 1960, 1970 e 1980, houve a necessidade de se estudar o mundo em suas três divisões regionais.

Ainda mais, o mundo ficou dividido em Primeiro Mundo, Segundo Mundo e Terceiro Mundo. Dessa forma, podemos representar essa divisão em um diagrama de Venn, que foi proposta pelo geógrafo Yves Lacoste.

Relação entre 4 conjuntos

n(A U B U C U D) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D) – n(A∩B) – n(A∩C) – n(A∩D) – n(B∩C) – n(B∩D) – n(C∩D) + n(A∩B∩C) + n(A∩B∩D) + n(A∩C∩D) + n(B∩C∩D) – n(A∩B∩C∩D)

Por outro lado, no caso de uma relação de 4 conjuntos, teremos o número de elementos das intersecções A∩D, B∩D, C∩D, A∩B∩D, A∩C∩D, B∩C∩D e A∩B∩C∩D , além das relações já existentes para 2 e 3 conjuntos.

Do mesmo modo que nos casos anteriores, vamos observar o exemplo da Figura abaixo.

A partir da imagem, podemos observar as seguintes situações:

• A = {a, b, d, e, h, i, l, m}
• B = {b, c , e, f, i, j, m, n}
• C = {d, e, f, g, h, i, j, k}
• D = {h, i, j, k, l, m, n, o}
• A∩B = {b, e, i, m}
• A∩C = {d, e, h, i}
• B∩C = {e, f, i, j}
• C∩D = {h, i, j, k}
• A∩D = {h, i, l, m}
• B∩D = {i, j, m, n}
• A∩B∩C = {e, i}
• A∩C∩D = {h, i}
• B∩C∩D = {i, j}
• A∩B∩C∩D = {i}

Em suma, todas as situações de combinações de conjuntos nos ajudam a resolver muitos problemas matemáticos que se mostram complicados.

Resumo

Em síntese, podemos ver um resumo a respeito do diagrama de Venn no vídeo a seguir.

Referências